Упростите выражение: $\frac{1}{x+2}+\frac{2}{x^2-2x}-\frac{4}{4-x^2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Упростите выражение: $\frac{1}{x+2}+\frac{2}{x^2-2x}-\frac{4}{4-x^2}$.$ Фото задания

Accepted Answer

Разложим знаменатели на множители: $x^2-2x=x(x-2)$, а $4-x^2=-(x-2)(x+2)$. Поэтому $-\frac{4}{4-x^2}=\frac{4}{(x-2)(x+2)}$.

Приведём дроби к общему знаменателю $x(x-2)(x+2)$: \[\frac{1}{x+2}+\frac{2}{x(x-2)}+\frac{4}{(x-2)(x+2)}=\frac{x(x-2)+2(x+2)+4x}{x(x-2)(x+2)}.\]

Соберём подобные слагаемые и сократим: \[\frac{x^2+4x+4}{x(x-2)(x+2)}=\frac{(x+2)^2}{x(x-2)(x+2)}=\frac{x+2}{x(x-2)}.\]

Исходное выражение определено при $x\ne-2,0,2$.

Ответ: $\frac{x+2}{x(x-2)}$, где $x\ne-2,0,2$.

Упростите выражение: \(\frac{1}{x+2}+\frac{2}{x^2-2x}-\frac{4}{4-x^2}\).