Упростите выражение: \( \frac{(3^{-2})^3 \cdot 27^2}{9^2} \)

Решение:

Для упрощения выражения \( \frac{(3^{-2})^3 \cdot 27^2}{9^2} \) представим все числа в виде степеней тройки:

1. \( (3^{-2})^3 = 3^{-2 \cdot 3} = 3^{-6} \)
2. \( 27^2 = (3^3)^2 = 3^{3 \cdot 2} = 3^6 \)
3. \( 9^2 = (3^2)^2 = 3^{2 \cdot 2} = 3^4 \)

Теперь подставим полученные степени в исходное выражение:

\[ \frac{3^{-6} \cdot 3^6}{3^4} = \frac{3^{-6+6}}{3^4} = \frac{3^0}{3^4} = \frac{1}{3^4} = 3^{-4} \]

Вычислим значение \( 3^{-4} \):

\[ 3^{-4} = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{81} \]

Ответ: \( \frac{1}{81} \)