Упростите выражение \(\frac{y^2 - x^2}{x^2 + 3} \cdot \left(\frac{xy + 3}{x^2 - 2xy + y^2} + \frac{x}{x-y}\right)\)

Решение:

1. Сначала упростим выражение в скобках. Приведём дроби к общему знаменателю \(x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2\):

\[ \frac{xy + 3}{(x-y)^2} + \frac{x}{x-y} = \frac{xy + 3}{(x-y)^2} + \frac{x(x-y)}{(x-y)^2} = \frac{xy + 3 + x^2 - xy}{(x-y)^2} = \frac{x^2 + 3}{(x-y)^2} \]

2. Теперь умножим первую дробь на упрощённое выражение в скобках:

\[ \frac{y^2 - x^2}{x^2 + 3} \cdot \frac{x^2 + 3}{(x-y)^2} \]

3. Сократим общие множители \(x^2 + 3\):

\[ \frac{y^2 - x^2}{(x-y)^2} \]

4. Разложим числитель \(y^2 - x^2\) как разность квадратов \((y-x)(y+x)\). Заметим, что \((y-x)^2 = (-(x-y))^2 = (x-y)^2\).

\[ \frac{(y-x)(y+x)}{(x-y)^2} = \frac{-(x-y)(y+x)}{(x-y)^2} \]

5. Сократим \((x-y)\):

\[ -\frac{y+x}{x-y} = \frac{y+x}{y-x} \]

Ответ: \(\frac{y+x}{y-x}\).