Упростите выражение: $$3\frac{1}{2}a^{-8}b^{-7} : (-\frac{7}{8}a^{-5}b^{-9})$$

Для начала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $$3\frac{1}{2} = \frac{3*2 + 1}{2} = \frac{7}{2}$$.

Теперь наше выражение выглядит так: $$\frac{7}{2}a^{-8}b^{-7} : (-\frac{7}{8}a^{-5}b^{-9})$$

Заменим деление умножением на обратную дробь: $$\frac{7}{2}a^{-8}b^{-7} * (-\frac{8}{7}a^{5}b^{9})$$

Перемножим числовые коэффициенты: $$\frac{7}{2} * (-\frac{8}{7}) = -\frac{7*8}{2*7} = -\frac{8}{2} = -4$$

Теперь работаем с переменными. Вспомним правило: $$a^m * a^n = a^{m+n}$$ и $$b^m * b^n = b^{m+n}$$.

Применяем это правило к степеням с основанием a: $$a^{-8} * a^{5} = a^{-8+5} = a^{-3}$$.

Аналогично для степеней с основанием b: $$b^{-7} * b^{9} = b^{-7+9} = b^{2}$$.

Собираем все вместе: $$-4a^{-3}b^{2}$$.

Можно записать это выражение так, чтобы не было отрицательных степеней. Вспомним, что $$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$. Тогда $$a^{-3} = \frac{1}{a^3}$$.

И окончательно получаем: $$-4\frac{b^{2}}{a^{3}}$$.

Ответ: $$-4\frac{b^{2}}{a^{3}}$$