172. Упростите выражение: a) \(\frac{x^2 - 30yz + 10xz - 3xy}{z^2 - xz} : \frac{x^2 - 100z^2}{x^2 - xz}\),

a) Упростим выражение: \(\frac{x^2 - 30yz + 10xz - 3xy}{z^2 - xz} : \frac{x^2 - 100z^2}{x^2 - xz}\)

Прежде всего, разложим на множители числитель первой дроби, сгруппировав члены:

\(x^2 - 30yz + 10xz - 3xy = x(x + 10z) - 3y(x + 10z) = (x - 3y)(x + 10z)\)

Разложим на множители знаменатель первой дроби:

\(z^2 - xz = z(z - x)\)

Разложим на множители числитель второй дроби:

\(x^2 - 100z^2 = (x - 10z)(x + 10z)\)

Разложим на множители знаменатель второй дроби:

\(x^2 - xz = x(x - z)\)

Теперь перепишем выражение с разложенными на множители числителями и знаменателями:

\(\frac{(x - 3y)(x + 10z)}{z(z - x)} : \frac{(x - 10z)(x + 10z)}{x(x - z)}\)

При делении дробей вторую дробь нужно перевернуть и заменить деление умножением:

\(\frac{(x - 3y)(x + 10z)}{z(z - x)} \cdot \frac{x(x - z)}{(x - 10z)(x + 10z)}\)

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:

\(\frac{(x - 3y)\cancel{(x + 10z)}}{z(z - x)} \cdot \frac{x(x - z)}{(x - 10z)\cancel{(x + 10z)}} = \frac{(x - 3y)}{z(z - x)} \cdot \frac{x(x - z)}{(x - 10z)}\)

Заметим, что \((z - x) = -(x - z)\), поэтому можно сократить \((x-z)\) и \((z-x)\), но при этом нужно поменять знак:

\(\frac{(x - 3y)}{-z\cancel{(x - z)}} \cdot \frac{x\cancel{(x - z)}}{(x - 10z)} = -\frac{x(x - 3y)}{z(x - 10z)}\)

Упростим выражение:

\(-\frac{x(x - 3y)}{z(x - 10z)} = -\frac{x^2 - 3xy}{xz - 10z^2} = \frac{3xy - x^2}{xz - 10z^2}\)

Ответ: \(\frac{3xy - x^2}{xz - 10z^2}\)