6. Упростите выражение: a) 3\frac{3}{7}x⁵y⁶⋅(−2\frac{1}{3}x⁵y)²; б) (an+1)²: a²n.

a) Упростим выражение: 3\frac{3}{7}x⁵y⁶⋅(−2\frac{1}{3}x⁵y)²

• Преобразуем смешанные дроби в неправильные:

\[3\frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{24}{7}\]

\[-2\frac{1}{3} = -\frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = -\frac{7}{3}\]

• Возведём в квадрат выражение в скобках:

\[\left(-\frac{7}{3}x^5y\right)^2 = \left(-\frac{7}{3}\right)^2 \cdot (x^5)^2 \cdot y^2 = \frac{49}{9}x^{10}y^2\]

• Умножим первое выражение на полученное:

\[\frac{24}{7}x^5y^6 \cdot \frac{49}{9}x^{10}y^2 = \frac{24}{7} \cdot \frac{49}{9} \cdot x^5 \cdot x^{10} \cdot y^6 \cdot y^2\]

• Упростим числовые коэффициенты:

\[\frac{24}{7} \cdot \frac{49}{9} = \frac{24 \cdot 49}{7 \cdot 9} = \frac{8 \cdot 7}{3} = \frac{56}{3}\]

• Упростим степени:

\[x^5 \cdot x^{10} = x^{5+10} = x^{15}\]

\[y^6 \cdot y^2 = y^{6+2} = y^8\]

• Запишем финальное выражение:

\[\frac{56}{3}x^{15}y^8 = 18\frac{2}{3}x^{15}y^8\]

б) Упростим выражение: (aⁿ⁺¹)² : a²ⁿ

• Возведём степень в степень:

\[(a^{n+1})^2 = a^{2(n+1)} = a^{2n+2}\]

• Разделим степени с одинаковым основанием:

\[\frac{a^{2n+2}}{a^{2n}} = a^{(2n+2) - 2n} = a^2\]

Ответ: a) \(18\frac{2}{3}x^{15}y^8\); б) \(a^2\)