6. Упростите выражение: a) (-21a³b)⁴⋅31a⁸b⁵; б) x2n: (xn−1)². 25

а) Упростим выражение $$\left(-2\frac{1}{2} a^3b\right)^4 \cdot 3\frac{1}{5} a^8b^5$$

Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: $$-2\frac{1}{2} = -\frac{5}{2}$$ и $$3\frac{1}{5} = \frac{16}{5}$$.

Возведем каждое выражение в степень:

$$\left(-\frac{5}{2} a^3b\right)^4 \cdot \frac{16}{5} a^8b^5 = \left(-\frac{5}{2}\right)^4 \cdot (a^3)^4 \cdot b^4 \cdot \frac{16}{5} a^8b^5 = \frac{625}{16} a^{12}b^4 \cdot \frac{16}{5} a^8b^5 = \frac{625}{16} \cdot \frac{16}{5} \cdot a^{12+8}b^{4+5} = 125a^{20}b^9$$

Ответ: $$125a^{20}b^9$$

б) Упростим выражение $$x^{2n} : (x^{n-1})^2$$.

Раскроем скобки в знаменателе:

$$x^{2n} : (x^{n-1})^2 = \frac{x^{2n}}{x^{2(n-1)}} = \frac{x^{2n}}{x^{2n-2}} = x^{2n - (2n-2)} = x^{2n - 2n + 2} = x^2$$

Ответ: $$x^2$$