Упростите выражения: 1) $\frac{a+12}{4a+16}+\frac{a+4}{4a-16}+\frac{19}{a^2-16}$; 2) $\frac{8a^3+36a}{a^3+27}-\frac{4a^2}{a^2-3a+9}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Упростите выражения: 1) $\frac{a+12}{4a+16}+\frac{a+4}{4a-16}+\frac{19}{a^2-16}$; 2)…$ Фото задания

Accepted Answer

1) Разлагаем знаменатели: $4a+16=4(a+4)$, $4a-16=4(a-4)$, $a^2-16=(a-4)(a+4)$. Общий знаменатель — $4(a-4)(a+4)$:

$\frac{(a+12)(a-4)+(a+4)^2+76}{4(a-4)(a+4)}$.

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

$\frac{a^2+8a-48+a^2+8a+16+76}{4(a^2-16)}=\frac{2a^2+16a+44}{4(a^2-16)}=\frac{a^2+8a+22}{2(a^2-16)}$, где $a\ne4$, $a\ne-4$.

2) Используем разложение суммы кубов: $a^3+27=(a+3)(a^2-3a+9)$. Приводим к общему знаменателю:

$\frac{8a^3+36a-4a^2(a+3)}{(a+3)(a^2-3a+9)}=\frac{4a(a^2-3a+9)}{(a+3)(a^2-3a+9)}=\frac{4a}{a+3}$, где $a\ne-3$.

Ответ: 1) $\frac{a^2+8a+22}{2(a^2-16)}$; 2) $\frac{4a}{a+3}$.

Упростите выражения: 1) \(\frac{a+12}{4a+16}+\frac{a+4}{4a-16}+\frac{19}{a^2-16}\); 2) \(\frac{8a^3+36a}{a^3+27}-\frac{4a^2}{a^2-3a+9}\).