Уровень 4. (оранжевый смайл, 8 баллов) В прямоугольнике АBCD биссектриса угла В делит сторону AD на два отрезка АК= 5 см и КD=7 см. Найдите площадь прямоугольника АВСD и площадь четырехугольника ВСDK.

В прямоугольнике ABCD биссектриса угла B делит сторону AD на два отрезка AK = 5 см и KD = 7 см. Нужно найти площадь прямоугольника ABCD и площадь четырехугольника BCDK.

Сделаем чертеж:

      B                   C
      +-------------------+
     /|                  /
    / |                 /|
   /  |                / |
  /   |               /  |
 +----+-------------- +   |
 A  5 K    7        D      

1. Найдем сторону AD прямоугольника:

$$AD = AK + KD = 5 + 7 = 12 \text{ см}$$.

2. Треугольник ABK - равнобедренный, так как биссектриса угла B образует равные углы с AD. Следовательно, AB = AK = 5 см.
3. Найдем площадь прямоугольника ABCD:

$$S_{ABCD} = AB \cdot AD = 5 \cdot 12 = 60 \text{ см}^2$$.

4. Найдем площадь треугольника ABK:

$$S_{ABK} = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 = 12.5 \text{ см}^2$$.

5. Найдем площадь четырехугольника BCDK:

$$S_{BCDK} = S_{ABCD} - S_{ABK} = 60 - 12.5 = 47.5 \text{ см}^2$$.

Ответ: $$S_{ABCD} = 60 \text{ см}^2$$, $$S_{BCDK} = 47.5 \text{ см}^2$$.