6. Установите соответствие между типом события и его вероятностью в опыте с подбрасыванием симметричной монеты 5 раз. Событие 1) Выпадет ровно 3 орла 2) Выпадет не более 2 орлов 3) Выпадет хотя бы 1 орёл

Решение:

1. Событие 1: Выпадет ровно 3 орла

Для этого используем биномиальное распределение. Вероятность успеха (выпадения орла) \( p = 0.5 \), количество испытаний \( n = 5 \), количество успехов \( k = 3 \).Формула биномиальной вероятности:

\[P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)\]\[P(X = 3) = C(5, 3) * (0.5)^3 * (0.5)^(5-3)\]\[C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 * 4}{2 * 1} = 10\]\[P(X = 3) = 10 * (0.5)^3 * (0.5)^2 = 10 * 0.125 * 0.25 = 10 * 0.03125 = 0.3125\]

2. Событие 2: Выпадет не более 2 орлов

Это означает, что может выпасть 0, 1 или 2 орла. Нужно сложить вероятности этих событий:

\[P(X \le 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)\]

Расчет вероятностей:

\[P(X = 0) = C(5, 0) * (0.5)^0 * (0.5)^5 = 1 * 1 * 0.03125 = 0.03125\]\[P(X = 1) = C(5, 1) * (0.5)^1 * (0.5)^4 = 5 * 0.5 * 0.0625 = 0.15625\]\[P(X = 2) = C(5, 2) * (0.5)^2 * (0.5)^3 = 10 * 0.25 * 0.125 = 0.3125\]\[P(X \le 2) = 0.03125 + 0.15625 + 0.3125 = 0.5\]

3. Событие 3: Выпадет хотя бы 1 орёл

Это означает, что может выпасть 1, 2, 3, 4 или 5 орлов. Проще вычислить вероятность противоположного события (не выпадет ни одного орла) и вычесть её из 1:

\[P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0.03125 = 0.96875\]

Ответ:

• 1) Выпадет ровно 3 орла - вероятность 0.3125
• 2) Выпадет не более 2 орлов - вероятность 0.5
• 3) Выпадет хотя бы 1 орёл - вероятность 0.96875