3. В ΔABC АВ = 12 см, ВС = 16 см, ∠B = 70°, а в ΔMNK MN = 15 см, NК = 20 см, ∠N = 70°. Найдите сторону АС и угол С треугольника ABC, если МК = 37 см, ∠K = 60°.

Рассмотрим треугольники ABC и MNK. Из условия задачи известно:

• AB = 12 см
• BC = 16 см
• ∠B = 70°
• MN = 15 см
• NK = 20 см
• ∠N = 70°

Заметим, что $$\frac{AB}{MN} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$$, $$\frac{BC}{NK} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5}$$. Так как две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то треугольники ABC и MNK подобны по первому признаку подобия треугольников.

Найдем сторону АС:

• $$\frac{AC}{MK} = \frac{AB}{MN}$$
• $$\frac{AC}{37} = \frac{4}{5}$$
• $$AC = \frac{4}{5} \cdot 37 = 29.6$$ см

Т.к. сумма углов в треугольнике 180°, то ∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 70° - ∠C

∠A + ∠B + ∠C = 180°, аналогично ∠M + ∠N + ∠K = 180°. Т.к. треугольники подобны, то ∠A = ∠M, ∠B = ∠N, ∠C = ∠K.

Из условия известно, что ∠K = 60°, следовательно, ∠C = 60°.

Ответ: АС = 29.6 см, ∠C = 60°