14. В 12:00 часы сломались, и за каждый следующий час отставали на одно и то же количество минут по сравнению с предыдущим часом. В 22:00 того же дня часы отставали на полчаса. На сколько минут отставали часы спустя 15 часов после того, как они сломались?

Пусть $$x$$ - количество минут, на которое часы отставали в первый час после поломки. Тогда в $$n$$-ый час после поломки часы отставали на $$nx$$ минут относительно предыдущего часа. Всего прошло $$22 - 12 = 10$$ часов. Значит, общее отставание часов в $$22:00$$ равно сумме отставаний за каждый час, то есть $$x + 2x + 3x + ... + 10x = x(1 + 2 + 3 + ... + 10)$$. Сумма $$1 + 2 + 3 + ... + 10 = \frac{10(10+1)}{2} = \frac{10 \cdot 11}{2} = 55$$. Значит, общее отставание часов в $$22:00$$ равно $$55x$$, и по условию это равно 30 минутам. $$55x = 30$$ $$x = \frac{30}{55} = \frac{6}{11}$$ минут. Нужно найти отставание часов спустя 15 часов после поломки. Общее отставание будет равно $$x(1 + 2 + ... + 15) = x\frac{15 \cdot 16}{2} = 120x$$. $$120x = 120 \cdot \frac{6}{11} = \frac{720}{11} \approx 65.45$$ минут. Ответ: $$\frac{720}{11}$$ или приблизительно 65.45 минут.