В-2. А3. Дан прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB. Постройте вектор \(\vec m=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{CA}\) и найдите \(|\vec m|\), если BC = 9 см.

Так как \(-\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AC}\), получаем:

\(\vec m=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}\).

Переставим слагаемые и применим правило треугольника: \(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BA}\), поэтому исходную сумму удобнее записать как \(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}\), где \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}\). Тогда \(\vec m=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB}=\vec 0\).

Однако в исходном выражении третье слагаемое после замены — \(\overrightarrow{AC}\), а вместе с \(\overrightarrow{BC}\) даёт не телескопическую цепочку. Вычислим по координатным векторам: \(\overrightarrow{BA}=A-B\), \(\overrightarrow{BC}=C-B\), \(-\overrightarrow{CA}=A-C\), поэтому \(\vec m=2A-2B=2\overrightarrow{BA}\). Значит, длина зависит от AB, а не BC. Для прямоугольного треугольника с гипотенузой AB и заданным BC одной длины BC недостаточно, чтобы определить AB.

Ответ: данных недостаточно; \(|\vec m|=2AB\), а длина AB не задана.