в) ABCD – квадрат. M ∈ (ABC), MA=MB=MC=MD=13 см. Расстояние от точки М до DC равно 12 см. Найдите площадь квадрата ABCD.

Решение:

Пусть O – центр квадрата ABCD. Тогда MO – высота, проведенная из точки M к плоскости квадрата. Расстояние от точки M до стороны DC равно 12 см. Это означает, что высота пирамиды MABCD равна 12 см.

MA=MB=MC=MD=13 см. Рассмотрим прямоугольный треугольник MOD. По теореме Пифагора: \( OD^2 = MD^2 - MO^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25 \). Отсюда \( OD = \sqrt{25} = 5 \) см.

OD – половина диагонали квадрата. Значит, диагональ \( AC = BD = 2 \cdot OD = 2 \cdot 5 = 10 \) см.

Площадь квадрата ABCD находится по формуле \( S = \frac{d^2}{2} \), где \( d \) – диагональ.

\( S_{ABCD} = \frac{10^2}{2} = \frac{100}{2} = 50 \) см².

Ответ: 50 см².