В амфитеатре 23 ряда, причём в каждом следующем ряду на одно и го же число мест больше, чем в предыдущем. В пятом ряду 27 мест, а в седьмом ряду 31 место. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Определим, на сколько мест увеличивается каждый ряд.

1. Обозначим количество мест в первом ряду как $$a_1$$, а разность мест между рядами как $$d$$.
2. В пятом ряду 27 мест, значит, $$a_5 = a_1 + 4d = 27$$.
3. В седьмом ряду 31 место, значит, $$a_7 = a_1 + 6d = 31$$.
4. Вычтем первое уравнение из второго: $$(a_1 + 6d) - (a_1 + 4d) = 31 - 27$$, что даёт $$2d = 4$$, следовательно, $$d = 2$$.
5. Подставим значение $$d$$ в первое уравнение: $$a_1 + 4 \cdot 2 = 27$$, что даёт $$a_1 + 8 = 27$$, следовательно, $$a_1 = 19$$.
6. Найдём количество мест в последнем (23-м) ряду: $$a_{23} = a_1 + 22d = 19 + 22 \cdot 2 = 19 + 44 = 63$$.

Ответ: 63