27. В амфитеатре 23 ряда, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В пятом ряду 27 мест, а в седьмом ряду 31 место. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Решим задачу.

Пусть a₁ - количество мест в первом ряду, d - разность арифметической прогрессии (на сколько мест больше в каждом следующем ряду).

Тогда количество мест в n-м ряду можно выразить формулой: $$a_n = a_1 + (n-1)d$$

Из условия задачи известно:

• a₅ = 27
• a₇ = 31

Запишем уравнения для a₅ и a₇:

• a₅ = a₁ + 4d = 27
• a₇ = a₁ + 6d = 31

Решим систему уравнений:

Вычтем первое уравнение из второго:

$$(a₁ + 6d) - (a₁ + 4d) = 31 - 27$$

$$2d = 4$$

$$d = 2$$

Теперь найдем a₁:

$$a₁ + 4 × 2 = 27$$

$$a₁ + 8 = 27$$

$$a₁ = 19$$

Нам нужно найти количество мест в последнем ряду (a₂₃):

$$a_{23} = a₁ + 22d = 19 + 22 × 2 = 19 + 44 = 63$$

Ответ: 63