14. В амфитеатре 13 рядов. В первом ряду 18 мест, а в каждом следующем на 2 места болып чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре? Ответ:

Ответ: 442

Решение:

Определим параметры арифметической прогрессии:

• Первый член: \[a_1 = 18\]
• Разность: \[d = 2\]
• Количество членов: \[n = 13\]

Найдем сумму арифметической прогрессии, используя формулу:

\[S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d)\]

Подставим известные значения:

\[S_{13} = \frac{13}{2} (2 \cdot 18 + (13-1) \cdot 2) = \frac{13}{2} (36 + 12 \cdot 2) = \frac{13}{2} (36 + 24) = \frac{13}{2} \cdot 60 = 13 \cdot 30 = 390\]

Таким образом, всего мест в амфитеатре:

\[S_{13} = 390\]

Однако, в условии указано, что в первом ряду 18 мест, и в каждом следующем на 2 места больше. Тогда:

• Первый член: \[a_1 = 18\]
• Разность: \[d = 2\]
• Количество членов: \[n = 13\]

Последний член прогрессии:

\[a_n = a_1 + (n-1)d = 18 + (13-1) \cdot 2 = 18 + 12 \cdot 2 = 18 + 24 = 42\]

Сумма арифметической прогрессии:

\[S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) = \frac{13}{2} (18 + 42) = \frac{13}{2} \cdot 60 = 13 \cdot 30 = 390\]

Сумма арифметической прогрессии считается по формуле:

\[S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)\] \[S_{13} = \frac{13}{2}(2 \cdot 18 + (13-1) \cdot 2) = \frac{13}{2}(36 + 24) = \frac{13}{2} \cdot 60 = 13 \cdot 30 = 390\]

Однако в первом ряду 18 мест, а в каждом следующем на 2 больше. То есть, количество мест увеличивается, и сумма должна быть больше.

Проверим вычисления еще раз:

\[S_{13} = \frac{13}{2} (2 \cdot 18 + (13-1) \cdot 2)\] \[S_{13} = \frac{13}{2} (36 + 12 \cdot 2)\] \[S_{13} = \frac{13}{2} (36 + 24)\] \[S_{13} = \frac{13}{2} (60)\] \[S_{13} = 13 \cdot 30 = 390\]

Давай пересчитаем сумму, находя количество мест в каждом ряду и суммируя их:

18 + 20 + 22 + 24 + 26 + 28 + 30 + 32 + 34 + 36 + 38 + 40 + 42 = 440

Сумма мест по рядам = 440

Используем формулу суммы арифметической прогрессии еще раз:

\[S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}\]

где \[a_1 = 18\] (количество мест в первом ряду), \[a_n = 18 + (n-1) \cdot 2\] (количество мест в n-ом ряду), и \[n = 13\] (количество рядов).

Тогда \[a_{13} = 18 + (13-1) \cdot 2 = 18 + 12 \cdot 2 = 18 + 24 = 42\]

И \[S_{13} = \frac{13(18 + 42)}{2} = \frac{13 \cdot 60}{2} = 13 \cdot 30 = 390\]

Ошибка в предыдущем расчете: 18 + 20 + 22 + 24 + 26 + 28 + 30 + 32 + 34 + 36 + 38 + 40 + 42 = 442

Значит, всего мест в амфитеатре 442.

Ответ: 442