В амфитеатре 30 рядов. В первом ряду 12 мест, а в каждом следующем - на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Решение:

Это задача на арифметическую прогрессию.

1. Первый член прогрессии (количество мест в первом ряду): \( a_1 = 12 \).
2. Разность прогрессии (увеличение мест в каждом следующем ряду): \( d = 2 \).
3. Количество членов прогрессии (количество рядов): \( n = 30 \).
4. Формула для нахождения суммы первых \( n \) членов арифметической прогрессии: \( S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \).
5. Подставим значения: \[ S_{30} = \frac{2 \cdot 12 + (30-1) \cdot 2}{2} \]
6. Вычислим: \[ S_{30} = \frac{24 + 29 \cdot 2}{2} = \frac{24 + 58}{2} = \frac{82}{2} = 41 \]
7. У нас есть 30 рядов, где количество мест в каждом ряду отличается. Чтобы найти общее количество мест, нужно найти сумму мест в каждом ряду.
8. \( a_{30} = a_1 + (n-1)d = 12 + (30-1) \cdot 2 = 12 + 29 \cdot 2 = 12 + 58 = 70 \) (мест в 30-м ряду).
9. \( S_{30} = \frac{a_1 + a_{30}}{2} \cdot n = \frac{12 + 70}{2} \cdot 30 = \frac{82}{2} \cdot 30 = 41 \cdot 30 = 1230 \).

Ответ: 1230 мест.