В билете лотереи «Спортлото 5 из 36» изображены 36 номеров от 1 до 36. Нужно зачеркнуть ровно 5 из них. При розыгрыше случайным образом выбираются 5 выигрышных номеров. Какова вероятность угадать: a) ровно 5 выигрышных номеров; б) ровно 4 выигрышных номера; в) ровно 3 выигрышных номера; г) хотя бы один выигрышный номер?

В этой задаче мы будем использовать формулы комбинаторики для вычисления вероятностей. Всего у нас есть 36 номеров, из которых выбираются 5. Игрок также выбирает 5 номеров.

Сначала найдем общее количество способов выбрать 5 номеров из 36. Это число сочетаний:

$$C_{36}^5 = \frac{36!}{5!(36-5)!} = \frac{36!}{5!31!} = 376992$$

а) Вероятность угадать ровно 5 выигрышных номеров:

Чтобы угадать все 5 номеров, есть только 1 способ. То есть, выбранные игроком 5 номеров должны совпадать с 5 выигрышными номерами.

$$P(5) = \frac{1}{C_{36}^5} = \frac{1}{376992} \approx 0.00000265$$

б) Вероятность угадать ровно 4 выигрышных номера:

Чтобы угадать 4 номера, нужно выбрать 4 выигрышных номера из 5 и 1 неправильный номер из оставшихся 31. Количество способов это сделать:

$$C_5^4 \cdot C_{31}^1 = \frac{5!}{4!1!} \cdot \frac{31!}{1!30!} = 5 \cdot 31 = 155$$

Тогда вероятность угадать ровно 4 номера:

$$P(4) = \frac{C_5^4 \cdot C_{31}^1}{C_{36}^5} = \frac{155}{376992} \approx 0.0004112$$

в) Вероятность угадать ровно 3 выигрышных номера:

Чтобы угадать 3 номера, нужно выбрать 3 выигрышных номера из 5 и 2 неправильных номера из оставшихся 31. Количество способов это сделать:

$$C_5^3 \cdot C_{31}^2 = \frac{5!}{3!2!} \cdot \frac{31!}{2!29!} = 10 \cdot 465 = 4650$$

Тогда вероятность угадать ровно 3 номера:

$$P(3) = \frac{C_5^3 \cdot C_{31}^2}{C_{36}^5} = \frac{4650}{376992} \approx 0.01233$$г) Вероятность угадать хотя бы один выигрышный номер:

Проще вычислить вероятность того, что не угадан ни один номер, а затем вычесть это значение из 1.

Вероятность не угадать ни одного номера:

$$C_5^0 \cdot C_{31}^5 = 1 \cdot \frac{31!}{5!26!} = 1 \cdot 169911 = 169911$$ $$P(0) = \frac{C_5^0 \cdot C_{31}^5}{C_{36}^5} = \frac{169911}{376992} \approx 0.4507$$Тогда вероятность угадать хотя бы один номер:

$$P(\text{хотя бы 1}) = 1 - P(0) = 1 - 0.4507 = 0.5493$$

Ответы:

• а) Вероятность угадать ровно 5 номеров: $$ \approx 0.00000265 $$
• б) Вероятность угадать ровно 4 номера: $$ \approx 0.0004112 $$
• в) Вероятность угадать ровно 3 номера: $$ \approx 0.01233 $$
• г) Вероятность угадать хотя бы один номер: $$ \approx 0.5493 $$