В четырехугольнике ABCD AD||BC. Биссектрисы ∠A и ∠D пересеклись в точке R на стороне ВС, АВ = CD = 9. Найдите сторону ВС.

Так как AD || BC, то ∠A + ∠B = 180° и ∠C + ∠D = 180° (как односторонние углы при параллельных прямых). AR и DR - биссектрисы углов A и D соответственно. Значит, ∠DAR = ∠A / 2 и ∠ADR = ∠D / 2.

Рассмотрим треугольник ARD. Сумма его углов равна 180°, значит, ∠DAR + ∠ADR + ∠ARD = 180°.

Подставим известные значения: ∠A / 2 + ∠D / 2 + ∠ARD = 180°. Отсюда, ∠ARD = 180° - (∠A + ∠D) / 2 = 180° - (180° - ∠B + 180° - ∠C) / 2 = (∠B + ∠C) / 2.

Так как точка R лежит на стороне BC, то ∠BRC = 180°. Значит, ∠ARB + ∠CRD = 180° - ∠ARD = 180° - (∠B + ∠C) / 2.

Рассмотрим треугольники ABR и DCR. В них AB = CD = 9 (дано). Также ∠A = ∠D (углы при основании равнобедренной трапеции). Биссектрисы этих углов делят их пополам, значит, ∠BAR = ∠ADR.

Поскольку ∠ARB + ∠CRD = 180° - ∠ARD, а ∠ARD = (∠B + ∠C) / 2, и ∠B = ∠C (углы при основании равнобедренной трапеции), то ∠ARD = ∠B. Тогда ∠ARB = ∠CRD = 180° - ∠B.

Из равенства углов следует подобие треугольников ABR и DCR по двум углам (∠BAR = ∠ADR и ∠ARB = ∠DRC). Но так как AB = CD, то треугольники не просто подобны, а равны. Значит, BR = CR, то есть R - середина BC.

Докажем, что треугольники ABR и DCR - равнобедренные. Рассмотрим треугольник ABR. ∠BAR = ∠BRA, так как AR - биссектриса угла A, и ∠BAR = ∠BRA. Значит, AB = BR. Аналогично, CD = CR.

Следовательно, BR = CR = AB = CD = 9.

Тогда BC = BR + CR = 9 + 9 = 18.

Проверка за 10 секунд: BC = 18.

Уровень Эксперт: При решении задач на трапеции активно используй свойства углов и равенство треугольников.