17. В четырехзначном числе сумма первых трех цифр равна 17, а сумма последних трех равна 8. Найдите наименьшее и наибольшее такое число.

Пусть четырехзначное число имеет вид $$\overline{abcd}$$, где $$a, b, c, d$$ - цифры. По условию: $$a + b + c = 17$$ $$b + c + d = 8$$ Для нахождения наименьшего числа нужно, чтобы первая цифра была как можно меньше. Чтобы $$a$$ было минимальным, $$b + c$$ должно быть максимальным. Максимальное значение $$b + c$$ равно $$b + c = 8 - d$$. Чтобы $$8 - d$$ было максимальным, $$d$$ должно быть минимальным. Минимальное значение $$d = 0$$. Тогда $$b + c = 8$$, и $$a = 17 - 8 = 9$$. Таким образом, наименьшее число имеет вид $$\overline{9bcd}$$, где $$b + c = 8$$ и $$d = 0$$. Минимальное значение $$\overline{bcd}$$ будет при максимальном $$b$$, то есть $$b=8, c = 0$$. Следовательно, наименьшее число равно 9800. Для нахождения наибольшего числа нужно, чтобы первая цифра была как можно больше. То есть $$a$$ должно быть максимальным. Максимальное значение $$a = 9$$. Тогда $$b + c = 17 - 9 = 8$$. Нужно найти наибольшее число вида $$\overline{9bcd}$$, где $$b + c = 8$$ и $$b + c + d = 8$$. Значит, $$d = 0$$. Чтобы $$\overline{bcd}$$ было максимальным, нужно, чтобы $$b$$ было максимальным. $$b$$ может быть 8, тогда $$c = 0$$. Следовательно, наибольшее число равно 9800. Однако, возможно, мы сделали ошибку. Попробуем минимальное $$a$$. Минимальное $$a = 8$$. Тогда $$b+c = 9$$. Так как $$b + c + d = 8$$, то это невозможно. Возьмём $$a+b+c = 17$$. $$b+c le 18$$, т.к. $$b$$ и $$c$$ не более 9. Так как $$b+c+d = 8$$, то $$b+c le 8$$. Для минимального числа нужно, чтобы $$a$$ было минимальным, то есть 8. Тогда $$b+c=9$$. Так как $$b+c+d = 8$$, то невозможно. Рассмотрим задачу на минимум и максимум отдельно. Наименьшее число: $$a + b + c = 17$$ $$b + c + d = 8$$ Минимальное $$a$$: $$a = 8$$ (иначе сумма $$b+c$$ будет больше 9, что невозможно) $$b+c=9$$, тогда $$d = -1$$, что невозможно. Значит $$a=9$$. Тогда $$b+c=8$$. Тогда $$b+c+d = 8$$, т.е. $$d=0$$. Чтобы число было минимальным $$b$$ должно быть максимально. Тогда $$b=8$$, $$c=0$$. Значит число 9800. Наибольшее число: $$a = 9$$. $$b+c = 8$$. $$b+c+d = 8$$, значит $$d=0$$. Чтобы число было наибольшим $$b$$ должно быть максимально. Тогда $$b = 8$$, $$c = 0$$. Значит число 9800. Минимальное число 9800. Максимальное число 9800. Следовательно, числа равны. **Ответ: Наименьшее число: 9800, Наибольшее число: 9800**