В четырёхугольнике ABCD, вписанном в окружность, найдите угол D, если известно, что ∠A : ∠B : ∠C = 2 : 5 : 7.

Решение:

В четырёхугольнике ABCD, вписанном в окружность, сумма противоположных углов равна 180°. То есть \( \angle A + \angle C = 180° \) и \( \angle B + \angle D = 180° \).

Пусть \( \angle A = 2x, \angle B = 5x, \angle C = 7x \).

Из условия \( \angle A + \angle C = 180° \):

\[ 2x + 7x = 180° \]

\[ 9x = 180° \]

\[ x = \frac{180°}{9} = 20° \]

Теперь найдём величины углов:

\[ \angle A = 2x = 2 · 20° = 40° \]

\[ \angle B = 5x = 5 · 20° = 100° \]

\[ \angle C = 7x = 7 · 20° = 140° \]

Проверим, что \( \angle A + \angle C = 40° + 140° = 180° \). Это верно.

Теперь найдём \( \angle D \), используя свойство \( \angle B + \angle D = 180° \):

\[ 100° + \angle D = 180° \]

\[ \angle D = 180° - 100° = 80° \]

Ответ: \( \angle D = 80° \).