В4. Дан параллелограмм ABCD, ∠ABD = 60°, ∠CBD = 45°, AD = 4√6 см. Найдите сторону АВ параллелограмма.

В параллелограмме ABCD:

\[\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD = 60^\circ + 45^\circ = 105^\circ\]

Так как в параллелограмме противоположные стороны равны, то \(AD = BC = 4\sqrt{6}\). В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°, поэтому:

\[\angle A = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ\]

Рассмотрим треугольник ABC. Используем теорему синусов:

\[\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A}\]

В параллелограмме противоположные углы равны, поэтому \(\angle C = \angle A = 75^\circ\). Выразим \(\sin 75^\circ\) через синус суммы углов:

\[\sin 75^\circ = \sin (45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\]

Подставим известные значения:

\[\frac{AB}{\sin 75^\circ} = \frac{4\sqrt{6}}{\sin 75^\circ}\] \[\frac{AB}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{4\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}\] \[AB = 4\sqrt{6}\]

Ответ: AB = 4√6 см