В3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10 см, радиус вписанной окружности равен 2 см. Найдите пло- щадь треугольника.

Пусть a и b - катеты прямоугольного треугольника, а c - гипотенуза. Площадь прямоугольного треугольника можно найти как:

\[S = \frac{1}{2}ab\]

Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник связан с катетами и гипотенузой следующим образом:

\[r = \frac{a + b - c}{2}\]

В нашем случае \(r = 2\) и \(c = 10\), поэтому:

\[2 = \frac{a + b - 10}{2}\] \[4 = a + b - 10\] \[a + b = 14\]

Выразим b через a:

\[b = 14 - a\]

По теореме Пифагора:

\[a^2 + b^2 = c^2\] \[a^2 + (14 - a)^2 = 10^2\] \[a^2 + 196 - 28a + a^2 = 100\] \[2a^2 - 28a + 96 = 0\] \[a^2 - 14a + 48 = 0\]

Решаем квадратное уравнение:

\[D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48 = 196 - 192 = 4\] \[a_1 = \frac{14 + \sqrt{4}}{2} = \frac{14 + 2}{2} = 8\] \[a_2 = \frac{14 - \sqrt{4}}{2} = \frac{14 - 2}{2} = 6\]

Если \(a = 8\), то \(b = 14 - 8 = 6\). Если \(a = 6\), то \(b = 14 - 6 = 8\). В любом случае, катеты равны 6 и 8.

Площадь треугольника:

\[S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \text{ см}^2\]

Ответ: Площадь треугольника равна 24 см²