в) Дана окружность с центром O и диаметром AB. Вне окружности взята точка M, так что прямые MA и MB пересекают окружность в точках C и D соответственно; AC = CD = BD. Докажите, что AC = OB.

Пусть общая длина хорд AC, CD и DB равна x. Равные хорды одной окружности стягивают равные центральные углы. Обозначим каждый соответствующий центральный угол через α.

Дуги AC, CD и DB вместе образуют полуокружность AB, поэтому 3α = 180°, откуда α = 60°.

Для хорды AC, стягивающей центральный угол 60°, треугольник AOC равнобедренный: OA = OC, а угол AOC равен 60°. Значит, треугольник AOC равносторонний и AC = OA.

Поскольку OA = OB (это радиусы окружности), получаем AC = OB.

Что и требовалось доказать.