3. В ДАВС (рисунок) на стороне АС взята точка КK, AK = = КС = ВК, угол АКВ на 60° больше угла С. Найдите угол АВК.

Ответ: 20°

• Обозначим угол \( \angle C = x \). Тогда \( \angle AKB = x + 60° \).
• Треугольник AKB равнобедренный (так как AK = BK), следовательно, углы при основании AK равны: \( \angle KAB = \angle ABK \).
• Сумма углов в треугольнике AKB равна 180°: \[\angle KAB + \angle ABK + \angle AKB = 180°\]
• Так как \( \angle KAB = \angle ABK \), то можем записать: \[2 \cdot \angle ABK + (x + 60°) = 180°\]
• Выразим \( \angle ABK \): \[2 \cdot \angle ABK = 180° - (x + 60°)\] \[2 \cdot \angle ABK = 120° - x\] \[\angle ABK = 60° - \frac{x}{2}\]
• Треугольник BKC равнобедренный (так как KC = BK), следовательно, \( \angle KBC = \angle C = x \).
• Угол \( \angle ABC \) равен сумме углов \( \angle ABK \) и \( \angle KBC \): \[\angle ABC = \angle ABK + \angle KBC\] \[\angle ABC = (60° - \frac{x}{2}) + x = 60° + \frac{x}{2}\]
• Сумма углов треугольника ABC равна 180°: \[\angle ABC + \angle BAC + \angle C = 180°\] \[(60° + \frac{x}{2}) + \angle BAC + x = 180°\]
• Угол \( \angle BAC = \angle BAK = \angle ABK = 60° - \frac{x}{2} \). Подставим это в уравнение: \[(60° + \frac{x}{2}) + (60° - \frac{x}{2}) + x = 180°\] \[120° + x = 180°\] \[x = 60°\]
• Тогда угол \( \angle ABK = 60° - \frac{x}{2} = 60° - \frac{60°}{2} = 60° - 30° = 30° \).
• Проверим: Угол \( \angle AKB = x + 60° = 60° + 60° = 120° \). Угол \( \angle BAK = 60° - 30° = 30° \). Сумма углов треугольника AKB: \( 30° + 30° + 120° = 180° \).
• Однако AK = KC = BK , значит точка K — центр описанной окружности, а AK=BK=CK — радиусы. Тогда ABK = KBC = углу C. Тогда обозначим все эти углы за x. И тогда AKB = 180 - 2x. И нам дано, что AKB = C + 60 = x + 60. То есть 180-2x = x + 60. 3x = 120, x = 40. Тогда ABK = 40. Но это не верно.
• Рассмотрим треугольник ABC. AK = KC = BK, значит K - центр окружности, описанной около треугольника ABC, и BK - радиус этой окружности. Следовательно, AK = KC = BK = R.
• В равнобедренном треугольнике BKC угол \( \angle KBC = \angle C \). Обозначим эти углы за x.
• В равнобедренном треугольнике ABK угол \( \angle BAK = \angle ABK \). Обозначим эти углы за y.
• По условию, угол \( \angle AKB = \angle C + 60° = x + 60° \).
• Рассмотрим треугольник AKB. Сумма его углов равна 180°: \[\angle AKB + \angle BAK + \angle ABK = 180°\] \[x + 60° + y + y = 180°\] \[2y = 120° - x\] \[y = 60° - \frac{x}{2}\]
• Рассмотрим треугольник ABC. Сумма его углов равна 180°: \[\angle A + \angle B + \angle C = 180°\] \[y + (x + y) + x = 180°\] \[2x + 2y = 180°\] \[x + y = 90°\]
• Подставим выражение для y: \[x + 60° - \frac{x}{2} = 90°\] \[\frac{x}{2} = 30°\] \[x = 60°\]
• Тогда угол \( y = 60° - \frac{60°}{2} = 60° - 30° = 30° \).
• Следовательно, угол \( \angle ABK = y = 30° \).

Ответ: 30°