В единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найти угол между прямой AD₁ и плоскостью α, проходящей через точки A₁, E и M, где точка E — середина ребра C₁D₁, а точка M лежит на ребре DD₁, так что D₁M = 2DM.

Введём координаты: A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A₁(0; 0; 1). Тогда D₁(0; 1; 1), C₁(1; 1; 1), E(0.5; 1; 1). Из условия D₁M = 2DM и DD₁ = 1 получаем DM = 1/3, поэтому M(0; 1; 1/3).

Направляющий вектор прямой AD₁: \(\vec v=(0;1;1)\). В плоскости α лежат векторы \(\overrightarrow{A_1E}=(0.5;1;0)\) и \(\overrightarrow{A_1M}=(0;1;-2/3)\). Их векторное произведение даёт нормаль плоскости, например \(\vec n=(-4;2;3)\).

Для угла φ между прямой и плоскостью используем \(\sin\varphi=\dfrac{|\vec n\cdot\vec v|}{|\vec n|\,|\vec v|}\). Здесь \(|\vec n\cdot\vec v|=5\), \(|\vec n|=\sqrt{29}\), \(|\vec v|=\sqrt{2}\), следовательно, \(\sin\varphi=\dfrac{5}{\sqrt{58}}\).

Ответ: \(\varphi=\arcsin\dfrac{5}{\sqrt{58}}\).