В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, все рёбра которой равны 1, найти угол между прямой AB₁ и плоскостью ACE₁.

Расположим правильный шестиугольник в плоскости z = 0: A(1; 0; 0), B(0.5; √3/2; 0), C(−0.5; √3/2; 0), E(−1; 0; 0). Высота призмы равна 1, поэтому B₁(0.5; √3/2; 1), E₁(−1; 0; 1).

Направляющий вектор AB₁ равен \(\vec v=(-0.5;\sqrt3/2;1)\). Два вектора плоскости ACE₁: \(\overrightarrow{AC}=(-1.5;\sqrt3/2;0)\) и \(\overrightarrow{AE_1}=(-2;0;1)\). Их векторное произведение — нормаль плоскости: \(\vec n=(\sqrt3/2;3/2;\sqrt3)\).

Для угла φ между прямой и плоскостью \(\sin\varphi=\dfrac{|\vec n\cdot\vec v|}{|\vec n|\,|\vec v|}\). Получаем \(|\vec n\cdot\vec v|=3\sqrt3/2\), \(|\vec n|=\sqrt6\), \(|\vec v|=\sqrt2\), значит \(\sin\varphi=3/4\).

Ответ: \(\varphi=\arcsin\dfrac{3}{4}\).