В правильной четырёхугольной пирамиде MABCK, все рёбра которой равны 1, найти угол между прямой KE, где E — середина апофемы MP грани AMB, и плоскостью AMC.

Пусть квадрат основания ABCK имеет центр O, а P — середина стороны AB, к которой проведена апофема MP грани AMB. Выберем координаты: A(0.5; 0.5; 0), B(−0.5; 0.5; 0), C(−0.5; −0.5; 0), K(0.5; −0.5; 0). Так как боковое ребро равно 1, высота пирамиды \(MO=\sqrt{1-(\sqrt2/2)^2}=1/\sqrt2\), поэтому M(0; 0; 1/√2).

P(0; 0.5; 0), следовательно, середина апофемы MP — E(0; 0.25; 1/(2√2)). Направляющий вектор KE: \(\vec v=(-0.5;0.75;1/(2\sqrt2))\).

Для плоскости AMC можно взять векторы \(\overrightarrow{AC}=(-1;-1;0)\) и \(\overrightarrow{AM}=(-0.5;-0.5;1/\sqrt2)\). Нормаль к плоскости пропорциональна \((-1;1;0)\). Тогда \(|\vec n\cdot\vec v|=5/4\), \(|\vec n|=\sqrt2\), а \(|\vec v|=\sqrt{15}/4\). Поэтому \(\sin\varphi=\dfrac{5}{\sqrt{30}}\).

Ответ: \(\varphi=\arcsin\dfrac{5}{\sqrt{30}}\).