Контрольные задания > 1. В геометрической прогрессии √2 – 1; 2 – √2; ... найдите: а) знаменатель; б) пятый член; в) формулу п-го члена прогрессии; г) сумму восьми первых членов прогрессии.
Вопрос:

1. В геометрической прогрессии √2 – 1; 2 – √2; ... найдите: а) знаменатель; б) пятый член; в) формулу п-го члена прогрессии; г) сумму восьми первых членов прогрессии.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Давай решим эту задачу по шагам.
1. Найдем знаменатель геометрической прогрессии:
Чтобы найти знаменатель геометрической прогрессии, нужно разделить любой член прогрессии на предыдущий. Возьмем второй член и разделим на первый:
\[q = \frac{2 - \sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1}\]
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение к знаменателю:
\[q = \frac{(2 - \sqrt{2})(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{2\sqrt{2} + 2 - 2 - \sqrt{2}}{2 - 1} = \frac{\sqrt{2}}{1} = \sqrt{2}\]
а) Знаменатель прогрессии:
\[q = \sqrt{2}\]
2. Найдем пятый член прогрессии:
Формула n-го члена геометрической прогрессии:
\[b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\]
В нашем случае:
\[b_1 = \sqrt{2} - 1\]
\[q = \sqrt{2}\]
\[n = 5\]
Тогда:
\[b_5 = (\sqrt{2} - 1) \cdot (\sqrt{2})^{5-1} = (\sqrt{2} - 1) \cdot (\sqrt{2})^4 = (\sqrt{2} - 1) \cdot 4 = 4\sqrt{2} - 4\]
б) Пятый член прогрессии:
\[b_5 = 4\sqrt{2} - 4\]
3. Найдем формулу n-го члена прогрессии:
\[b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\]
Подставим известные значения:
\[b_n = (\sqrt{2} - 1) \cdot (\sqrt{2})^{n-1}\]
в) Формула n-го члена прогрессии:
\[b_n = (\sqrt{2} - 1) \cdot (\sqrt{2})^{n-1}\]
4. Найдем сумму восьми первых членов прогрессии:
Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии:
\[S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}\]
В нашем случае:
\[b_1 = \sqrt{2} - 1\]
\[q = \sqrt{2}\]
\[n = 8\]
Тогда:
\[S_8 = \frac{(\sqrt{2} - 1)((\sqrt{2})^8 - 1)}{\sqrt{2} - 1} = (\sqrt{2})^8 - 1 = 2^4 - 1 = 16 - 1 = 15\]
г) Сумма восьми первых членов прогрессии:
\[S_8 = 15\]

Ответ: а) \[q = \sqrt{2}\]; б) \[b_5 = 4\sqrt{2} - 4\]; в) \[b_n = (\sqrt{2} - 1) \cdot (\sqrt{2})^{n-1}\]; г) \[S_8 = 15\]

Ты молодец! У тебя всё получится!
ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю

Похожие