3. В геометрической прогрессии (bn) все члены положительны. Найдите S6, если известно, что S2 = 9 и S3 = 21.

Question

Вопрос:

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Давай решим эту задачу вместе!

Известно:

\[S_2 = b_1 + b_2 = 9\]

\[S_3 = b_1 + b_2 + b_3 = 21\]

Выразим \[b_3\]:

\[b_3 = S_3 - S_2 = 21 - 9 = 12\]

Так как это геометрическая прогрессия:

\[b_2 = b_1 \cdot q\]

\[b_3 = b_1 \cdot q^2\]

Тогда:

\[S_2 = b_1 + b_1 \cdot q = b_1(1 + q) = 9\]

\[b_3 = b_1 \cdot q^2 = 12\]

Разделим \[b_3\] на \[S_2\]:

\[\frac{b_1 \cdot q^2}{b_1(1 + q)} = \frac{12}{9}\]

\[\frac{q^2}{1 + q} = \frac{4}{3}\]

\[3q^2 = 4(1 + q)\]

\[3q^2 = 4 + 4q\]

\[3q^2 - 4q - 4 = 0\]

Решим квадратное уравнение:

\[D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64\]

\[q_1 = \frac{4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 8}{6} = \frac{12}{6} = 2\]

\[q_2 = \frac{4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 8}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}\]

Так как все члены прогрессии положительные, то \[q > 0\]:

\[q = 2\]

Теперь найдем \[b_1\]:

\[b_1(1 + q) = 9\]

\[b_1(1 + 2) = 9\]

\[b_1 \cdot 3 = 9\]

\[b_1 = \frac{9}{3} = 3\]

Теперь найдем \[S_6\]:

\[S_6 = \frac{b_1(q^6 - 1)}{q - 1} = \frac{3(2^6 - 1)}{2 - 1} = \frac{3(64 - 1)}{1} = 3 \cdot 63 = 189\]

Ответ: \[S_6 = 189\]

Ты молодец! У тебя всё получится!