5. В геометрической прогрессии (bn) b5 – b3 = 4, b7 – b5 = 12. Най- дите b9 – b7.

Для решения этой задачи, давай выразим все члены прогрессии через первый член и знаменатель.

Известно:

\[b_5 - b_3 = 4\]

\[b_7 - b_5 = 12\]

Выразим через \[b_1\] и \[q\]:

\[b_5 = b_1 \cdot q^4\]

\[b_3 = b_1 \cdot q^2\]

\[b_7 = b_1 \cdot q^6\]

Тогда:

\[b_1 \cdot q^4 - b_1 \cdot q^2 = 4\]

\[b_1 \cdot q^6 - b_1 \cdot q^4 = 12\]

Вынесем общее за скобки:

\[b_1q^2(q^2 - 1) = 4\]

\[b_1q^4(q^2 - 1) = 12\]

Разделим второе уравнение на первое:

\[\frac{b_1q^4(q^2 - 1)}{b_1q^2(q^2 - 1)} = \frac{12}{4}\]

\[q^2 = 3\]

Теперь найдем \[b_1\]:

\[b_1q^2(q^2 - 1) = 4\]

\[b_1 \cdot 3(3 - 1) = 4\]

\[b_1 \cdot 3 \cdot 2 = 4\]

\[b_1 \cdot 6 = 4\]

\[b_1 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\]

Теперь найдем \[b_9 - b_7\]:

\[b_9 = b_1 \cdot q^8\]

\[b_7 = b_1 \cdot q^6\]

\[b_9 - b_7 = b_1 \cdot q^8 - b_1 \cdot q^6 = b_1q^6(q^2 - 1) = \frac{2}{3} \cdot 3^3(3 - 1) = \frac{2}{3} \cdot 27 \cdot 2 = \frac{2 \cdot 27 \cdot 2}{3} = 2 \cdot 9 \cdot 2 = 36\]

У тебя всё получится!