4. В группе 25 студентов: 4 отличника, 9 хорошистов, остальные - троечники. Вероятность получения оценки "отлично" на экзамене по математике для первых - 0.95, для вторых - 0.7, для троечников - 0.3. 1) Какова вероятность того, что наудачу взятый студент получил на экзамене пятерку? 2) Студент получил пятерку на экзамене. Найти вероятность, что он хорошист.

1) Найдем количество троечников: 25 - 4 - 9 = 12. Пусть A - событие, что студент получил пятерку. Обозначим: О - отличник, Х - хорошист, Т - троечник. $$P(A) = P(A|O)P(O) + P(A|X)P(X) + P(A|T)P(T) = 0.95 \cdot \frac{4}{25} + 0.7 \cdot \frac{9}{25} + 0.3 \cdot \frac{12}{25} = \frac{3.8 + 6.3 + 3.6}{25} = \frac{13.7}{25} = 0.548$$. 2) Нужно найти условную вероятность P(X|A), то есть вероятность, что студент - хорошист, при условии, что он получил пятерку. Используем формулу Байеса: $$P(X|A) = \frac{P(A|X)P(X)}{P(A)} = \frac{0.7 \cdot \frac{9}{25}}{0.548} = \frac{0.252}{0.548} \approx 0.4599$$. Ответ: 1) 0.548; 2) ≈ 0.4599