В группе из 25 студентов 18 изучают английский язык, а 16 - немецкий. Выберите утверждения, которые верны при заданных условиях. 1) Студентов, изучающих оба языка, не может быть 17. 2) Каждый студент в группе изучает оба языка. 3) Хотя бы 9 студентов изучают и английский, и немецкий. 4) Каждый, кто изучает немецкий, также изучает и английский. В ответе укажите номера истинных утверждений Ответ:

Применим метод кругов Эйлера.

Пусть A - множество студентов, изучающих английский язык, B - множество студентов, изучающих немецкий язык. Общее количество студентов - 25.

$$|A| = 18$$

$$|B| = 16$$

$$|A \cup B| \le 25$$

Используем формулу для объединения двух множеств:

$$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$$

$$|A \cap B| = |A| + |B| - |A \cup B|$$

$$|A \cap B| = 18 + 16 - |A \cup B|$$

$$|A \cap B| = 34 - |A \cup B|$$

Минимальное количество студентов, изучающих оба языка:

$$|A \cup B| = 25$$

$$|A \cap B| = 34 - 25 = 9$$

Максимальное количество студентов, изучающих оба языка:

$$|A \cup B| = max(|A|, |B|) = 18$$

$$|A \cap B| = 34 - 18 = 16$$

Тогда количество студентов, изучающих оба языка, находится в пределах от 9 до 16.

1. Студентов, изучающих оба языка, не может быть 17. - Верно, максимальное число 16.


2. Каждый студент в группе изучает оба языка. - Неверно, так как минимум 9 студентов изучают оба языка.


3. Хотя бы 9 студентов изучают и английский, и немецкий. - Верно, это минимальное число.


4. Каждый, кто изучает немецкий, также изучает и английский. - Неверно, так как, если 16 изучают оба языка, то все, кто изучает немецкий, изучают и английский, но это не обязательно.

Ответ: 13