В группе учится 15 студентов, из них 12 человек сдали зачёт по истории и 8 — по русскому языку. Укажите номера всех истинных утверждений. 1) Менее 11 студентов из этой группы сдали зачёты и по истории, и по русскому языку. 2) Каждый студент этой группы сдал оба зачёта. 3) Хотя бы 5 студентов из этой группы сдали зачёты и по истории, и по русскому языку. 4) В этой группе найдётся 4 студента, не сдавших ни одного из этих двух зачётов.

По принципу включения и исключения минимум студентов, сдавших оба зачёта, равен 12 + 8 − 15 = 5. Максимум — 8, поскольку русский язык сдали 8 студентов.

1. Оба зачёта сдали не более 8 студентов, то есть менее 11. Утверждение истинно.
2. Всего зачёты сдали 12 и 8 студентов, поэтому каждый из 15 не мог сдать оба зачёта. Утверждение ложно.
3. Оба зачёта сдали как минимум 5 студентов. Утверждение истинно.
4. Число студентов, не сдавших ни одного зачёта, равно числу сдавших оба зачёта минус 5, то есть может быть от 0 до 3. Четырёх таких студентов быть не может. Утверждение ложно.

Ответ: 1, 3.