Для решения данного задания применим Протокол Б: Пунктуация и Протокол Я: Общий лингвистический анализ.
Придаточное изъяснительное отвечает на вопросы косвенных падежей и относится к слову, которое нуждается в пояснении.
а) И гот, что был позади, беспокойно зашмыгал носом.
Гот зашмыгал носом (какой именно гот?) что был позади (определение).
Придаточное определительное.
б) Книга, что мне подарили, оказалась очень интересной.
Книга оказалась интересной (какая книга?) что мне подарили (определение).
Придаточное определительное.
в) Отвлеченные науки потому и называются отвлеченными, что они отвлекают ваш ум от очевидности.
Науки называются отвлеченными (почему?) что отвлекают ум (причина).
Придаточное причины.
г) Узнав, что барин приехал, она снова побежала в избу.
Она побежала в избу (что она узнала?) что барин приехал (изъяснительное).
Придаточное изъяснительное.
Ответ: г) Узнав, что барин приехал, она снова побежала в избу.