В классе 12 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них пятерых для участия в математической олимпиаде?

Ответ: 792

Решение:

Для решения этой задачи используем формулу сочетаний без повторений, так как порядок выбора учеников не важен. Формула сочетаний выглядит следующим образом:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где:

• n - общее количество элементов (в данном случае, 12 человек).
• k - количество элементов, которые нужно выбрать (в данном случае, 5 человек).
• ! - факториал числа (произведение всех натуральных чисел до этого числа включительно).

Подставим значения в формулу:

\[ C(12, 5) = \frac{12!}{5!(12-5)!} = \frac{12!}{5!7!} \]

Вычислим факториалы:

\[ 12! = 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7! \] \[ 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 \]

Подставим значения факториалов в формулу:

\[ C(12, 5) = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{120 \cdot 7!} \]

Сократим 7! в числителе и знаменателе:

\[ C(12, 5) = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{120} \]

Сократим дробь:

\[ C(12, 5) = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{120} = 11 \cdot 9 \cdot 8 = 792 \]

Ответ: 792