В классе 25 учащихся: 16 из них учат английский язык, 11 — немецкий. Каждый из учеников изучает хотя бы один язык. Сколько учащихся изучают оба языка?

Решение:

Эта задача решается с помощью принципа включения-исключения или с помощью диаграммы Эйлера.

Дано:

• Всего учащихся = 25
• Учат английский (А) = 16
• Учат немецкий (Н) = 11
• Каждый изучает хотя бы один язык (т.е. A ∪ Н = 25).

Найти: Сколько учащихся изучают оба языка (A ∩ Н).

Используем формулу включения-исключения:

|A ∪ Н| = |A| + |Н| - |A ∩ Н|

Подставляем известные значения:

25 = 16 + 11 - |A ∩ Н|

25 = 27 - |A ∩ Н|

|A ∩ Н| = 27 - 25

|A ∩ Н| = 2

Альтернативное решение (через диаграмму Эйлера):

1. Пусть 'x' — количество учащихся, изучающих оба языка.
2. Тогда количество учащихся, изучающих только английский язык, будет: 16 - x.
3. Количество учащихся, изучающих только немецкий язык, будет: 11 - x.
4. По условию, каждый изучает хотя бы один язык, значит, сумма учащихся, изучающих только английский, только немецкий и оба языка, равна общему числу учащихся в классе:

(16 - x) + (11 - x) + x = 25

16 + 11 - x - x + x = 25

27 - x = 25

x = 27 - 25

x = 2

Ответы из картинки:

• 1) 25 - 16 = 9 учащихся не изучают английский язык (учат только немецкий).
• 2) 25 - 11 = 14 учащихся не изучают немецкий язык (учат только английский).
• 3) 25 - (9 + 14) = 25 - 23 = 2 учащихся изучают и английский, и немецкий языки.

Финальный ответ: 2 учащихся изучают оба языка.