В координатной плоскости Оху постройте график функции y = (0,5x²-x)|x| / x-2 Найдите, при каких значениях m прямая y=m не имеет с графиком ни одной общей точки.

Ответ: m = 0 и m = -2

1. Шаг 1: Упрощение функции

Рассмотрим функцию: \[y = \frac{(0.5x^2 - x)|x|}{x - 2}\] Преобразуем числитель: \[y = \frac{0.5x(x - 2)|x|}{x - 2}\]

2. Шаг 2: Анализ случаев для |x|

Рассмотрим два случая:

• Если \(x > 0\), то \(|x| = x\): \[y = \frac{0.5x(x - 2)x}{x - 2} = 0.5x^2\] при \(x
  eq 2\)
• Если \(x < 0\), то \(|x| = -x\): \[y = \frac{0.5x(x - 2)(-x)}{x - 2} = -0.5x^2\] при \(x
  eq 2\)

3. Шаг 3: Определение точек разрыва

Функция не определена при \(x = 2\). В этом случае, если \(x > 0\), то \(y = 0.5x^2 = 0.5 \cdot 2^2 = 2\). Таким образом, в точке \(x = 2\) есть разрыв.

4. Шаг 4: Построение графика функции

График состоит из двух парабол:

• Для \(x > 0\) и \(x
  eq 2\): \(y = 0.5x^2\)
• Для \(x < 0\): \(y = -0.5x^2\)

В точке \(x = 2\) график имеет разрыв, и значение \(y = 2\) не достигается.

5. Шаг 5: Анализ прямой y = m

Прямая \(y = m\) является горизонтальной линией. Нам нужно найти значения \(m\), при которых эта прямая не пересекает график функции.

• При \(m = 0\) прямая \(y = 0\) касается графика в точке \(x = 0\), но не пересекает его в других точках.
• При \(m = 2\) прямая \(y = 2\) проходит через точку разрыва, поэтому не пересекает график.
• При \(m < 0\) прямая \(y = m\) пересекает параболу \(y = -0.5x^2\).
• При \(m > 0\) и \(m
  eq 2\) прямая \(y = m\) пересекает параболу \(y = 0.5x^2\).

Ответ: m = 0 и m = 2