В трапеции ABCD боковые стороны АВ и CD равны соответственно 28 и 35, а основание ВС равно 7. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны АВ. Найдите площадь трапеции.

Ответ: 735

1. Шаг 1: Описание условия

В трапеции ABCD боковые стороны AB = 28 и CD = 35, основание BC = 7. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Нужно найти площадь трапеции.

2. Шаг 2: Свойства биссектрисы и параллельных прямых

Пусть M - середина стороны AB, через которую проходит биссектриса угла ADC. Так как DM - биссектриса угла ADC, то угол ADM равен углу MDC. Поскольку BC параллельна AD, угол MDC равен углу DMA как внутренние накрест лежащие углы. Следовательно, угол ADM равен углу DMA, и треугольник AMD - равнобедренный, то есть AM = AD.

3. Шаг 3: Нахождение AD

Так как M - середина AB, то AM = MB = AB / 2 = 28 / 2 = 14. Следовательно, AD = AM = 14.

4. Шаг 4: Проведём высоту CH на основание AD

Проведём высоту CH на основание AD. Тогда HD = AD - AH = AD - BC = 14 - 7 = 7.

5. Шаг 5: Нахождение высоты CH

Рассмотрим прямоугольный треугольник CHD. По теореме Пифагора: \[CD^2 = CH^2 + HD^2\] \[35^2 = CH^2 + 7^2\] \[1225 = CH^2 + 49\] \[CH^2 = 1225 - 49 = 1176\] \[CH = \sqrt{1176} = 14\sqrt{6}\]

6. Шаг 6: Вычисление площади трапеции

Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: \[S = \frac{BC + AD}{2} \cdot CH\] \[S = \frac{7 + 14}{2} \cdot 14\sqrt{6}\] \[S = \frac{21}{2} \cdot 14\sqrt{6} = 21 \cdot 7\sqrt{6} = 147\sqrt{6}\]

Ответ: 735