14. В кормушки в парке насыпали орехов. После этого белка каждый день запасала себе в одинаковое число раз больше орехов, чем в предыдущий день. На третий день она запасла 20 орехов. На пятый день ей удалось запасти на 40 орехов больше, чем в предыдущий день. Сколько орехов запасла белка с первого по пятый день?

Пошаговое решение:

1. Обозначим количество орехов, которое белка запасла в первый день, как x, а коэффициент увеличения запаса орехов каждый день как q. Тогда, количество орехов в каждый из пяти дней будет следующим:
   
   • 1-й день: \( x \)
   • 2-й день: \( xq \)
   • 3-й день: \( xq^2 = 20 \)
   • 4-й день: \( xq^3 \)
   • 5-й день: \( xq^4 \)
2. По условию, в пятый день белка запасла на 40 орехов больше, чем в предыдущий день, то есть:
   \[ xq^4 = xq^3 + 40 \]
3. Выразим \( x \) из уравнения для 3-го дня:
   \[ x = \frac{20}{q^2} \]
4. Подставим это выражение в уравнение для пятого дня:
   \[ \frac{20}{q^2} \cdot q^4 = \frac{20}{q^2} \cdot q^3 + 40 \]
   \[ 20q^2 = 20q + 40 \]
   \[ q^2 = q + 2 \]
   \[ q^2 - q - 2 = 0 \]
5. Решим квадратное уравнение относительно q. Дискриминант \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \). Корни уравнения:
   \[ q_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2 \]
   \[ q_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1 \]
   Так как количество орехов не может быть отрицательным, выбираем \( q = 2 \).
6. Теперь найдем \( x \):
   \[ x = \frac{20}{q^2} = \frac{20}{2^2} = \frac{20}{4} = 5 \]
7. Вычислим количество орехов, которое белка запасала каждый день:
   
   • 1-й день: \( 5 \)
   • 2-й день: \( 5 \cdot 2 = 10 \)
   • 3-й день: \( 20 \)
   • 4-й день: \( 5 \cdot 2^3 = 40 \)
   • 5-й день: \( 5 \cdot 2^4 = 80 \)
8. Теперь вычислим общее количество орехов за пять дней:
   \[ 5 + 10 + 20 + 40 + 80 = 155 \]

Ответ: 155 орехов.