В круг диаметром 4 см вписан равнобедренный треугольник с углом 45° при основании. Какова вероятность, что случайно выбранная точка из круга попадёт внутрь треугольника?

Углы при основании равны по \(45^\circ\), поэтому угол при вершине треугольника равен \(180^\circ-45^\circ-45^\circ=90^\circ\). Вписанный прямоугольный треугольник имеет гипотенузу, равную диаметру описанной окружности: гипотенуза равна 4 см.

Катеты равны, а их квадраты в сумме дают квадрат гипотенузы. Следовательно, каждый катет равен \(\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\) см. Площадь треугольника: \(S_{\triangle}=\frac{1}{2}(2\sqrt{2})^2=4\) см².

Радиус круга равен 2 см, поэтому его площадь \(S_{\text{круга}}=\pi\cdot 2^2=4\pi\) см². Искомая вероятность: \(P=\frac{S_{\triangle}}{S_{\text{круга}}}=\frac{4}{4\pi}=\frac{1}{\pi}\).

Ответ: \(\frac{1}{\pi}\).