5. В круг радиуса \(\frac{5\sqrt{2}}{2}\) см вписан равнобедренный прямоугольный треугольник. В круг наудачу ставится точка. Найдите вероятность того, что она не попадёт в данный треугольник. При необходимости в расчетах используйте значение \(\pi\) с точностью до целых.

Радиус круга равен \(r = \frac{5\sqrt{2}}{2}\) см. Площадь круга равна: \[S_{круг} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \pi \cdot \frac{25 cdot 2}{4} = \frac{25\pi}{2}\] Так как в круг вписан равнобедренный прямоугольный треугольник, его гипотенуза равна диаметру круга, то есть \(2r = 5\sqrt{2}\). Катеты этого треугольника равны \(a = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 5\). Площадь треугольника равна: \[S_{треуг} = \frac{1}{2} a^2 = \frac{1}{2} cdot 5^2 = \frac{25}{2}\] Площадь области вне треугольника равна: \[S_{вне} = S_{круг} - S_{треуг} = \frac{25\pi}{2} - \frac{25}{2} = \frac{25(\pi - 1)}{2}\] Вероятность того, что точка не попадет в треугольник, равна отношению площади вне треугольника к площади круга: \[P = \frac{S_{вне}}{S_{круг}} = \frac{\frac{25(\pi - 1)}{2}}{\frac{25\pi}{2}} = \frac{\pi - 1}{\pi}\] Так как \(\pi \approx 3\), то: \[P \approx \frac{3 - 1}{3} = \frac{2}{3}\] Ответ: Вероятность того, что точка не попадет в треугольник, равна \(\frac{2}{3}\).