В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точка $K$ — центр грани $ABCD$. Вычислите угол между прямыми $AD_1$ и $A_1K$.

Question

Вопрос: $Фото задания: В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точка $K$ — центр грани $ABCD$. Вычислите угол между прямыми $AD_1$ и $A_1K$.$ Фото задания

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точка $K$ — центр грани $ABCD$. Вычислите угол между прямыми $AD_1$ и $A_1K$.

Accepted Answer

Пусть ребро куба равно $s$. Введём координаты: $A(0;0;0)$, $D(0;s;0)$, $A_1(0;0;s)$, $D_1(0;s;s)$. Центр грани $ABCD$: $K(\frac{s}{2};\frac{s}{2};0)$.

Направляющие векторы прямых:

$\overrightarrow{AD_1}=(0;s;s)$, $\overrightarrow{A_1K}=(\frac{s}{2};\frac{s}{2};-s)$.

Их скалярное произведение равно $-s^2$, а длины — $s\sqrt2$ и $\frac{s\sqrt6}{2}$. Угол между прямыми берём острым, поэтому

$\cos\varphi=\frac{|{-s^2}|}{s\sqrt2\cdot\frac{s\sqrt6}{2}}=\frac{1}{\sqrt3}$.

Следовательно, $\varphi=\arccos\frac{1}{\sqrt3}\approx54.7^\circ$.

Ответ: $\arccos\frac{1}{\sqrt3}\approx54.7^\circ$.

В кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) точка \(K\) — центр грани \(ABCD\). Вычислите угол между прямыми \(AD_1\) и \(A_1K\).

Ответ: