Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ на рёбрах AA₁ и CC₁ выбраны точки M и N так, что AM : MA₁ = 3 : 1 и CN : NC₁ = 1 : 2. Найдите угол…Фото задания

Ответ:

Пусть ребро куба равно a. Введём координаты: A(0, 0, 0), C(a, a, 0), A₁(0, 0, a), C₁(a, a, a).

  1. Из отношения AM : MA₁ = 3 : 1 получаем M(0, 0, 3a/4).

  2. Из CN : NC₁ = 1 : 2 получаем N(a, a, a/3).

  3. Направляющие векторы прямых: \(\overrightarrow{MN}=(a,a,-5a/12)\), \(\overrightarrow{AC}=(a,a,0)\).

  4. По формуле косинуса угла между прямыми:

    \(\cos\varphi=\frac{|\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{MN}|\,|\overrightarrow{AC}|}=\frac{2a^2}{(a\sqrt{313}/12)(a\sqrt{2})}=\frac{24}{\sqrt{626}}\).

Ответ: \(\varphi=\arccos\frac{24}{\sqrt{626}}\approx 15{,}4^\circ\).