В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол между прямыми AB₁ и BC₁.

Пусть ребро куба равно \(a\). Введём координаты: \(A(0,0,0)\), \(B(a,0,0)\), \(C(a,a,0)\), \(B_1(a,0,a)\), \(C_1(a,a,a)\).

1. Направляющие векторы прямых: \(\overrightarrow{AB_1}=(a,0,a)\), \(\overrightarrow{BC_1}=(0,a,a)\).
2. Их скалярное произведение равно \(a^2\), а длина каждого вектора — \(a\sqrt{2}\).
3. По формуле косинуса угла между прямыми: \(\cos\varphi=\frac{a^2}{a\sqrt{2}\cdot a\sqrt{2}}=\frac12\).
4. Значит, \(\varphi=60^\circ\).

Ответ: 60°.