В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка E — середина ребра A₁B₁. Найдите угол между прямыми AE и BD₁.

Пусть ребро куба равно \(a\). Зададим координаты: \(A(0,0,0)\), \(B(a,0,0)\), \(A_1(0,0,a)\), \(B_1(a,0,a)\), \(D_1(0,a,a)\). Так как E — середина A₁B₁, то \(E\left(\frac a2,0,a\right)\).

1. Направляющие векторы прямых: \(\overrightarrow{AE}=\left(\frac a2,0,a\right)\), \(\overrightarrow{BD_1}=(-a,a,a)\).
2. Их скалярное произведение: \(\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{BD_1}=-\frac{a^2}{2}+a^2=\frac{a^2}{2}\).
3. Длины векторов: \(|\overrightarrow{AE}|=\frac{a\sqrt5}{2}\), \(|\overrightarrow{BD_1}|=a\sqrt3\).
4. Тогда \(\cos\varphi=\frac{\frac{a^2}{2}}{\frac{a\sqrt5}{2}\cdot a\sqrt3}=\frac1{\sqrt{15}}\).

Ответ: \(\varphi=\arccos\frac1{\sqrt{15}}\approx75^\circ\).