В многоквартирном доме 189 квартир. Известно, что во всех подъездах дома одинаковое число этажей и на каждом этаже каждого подъезда одинаковое число квартир (больше одной). Сколько этажей в этом доме, если число квартир на каждом этаже в подъезде в 3 раза меньше числа этажей в доме?

Решение:

Обозначим общее число квартир как \( K = 189 \).

Пусть \( E \) — число этажей в доме, \( P \) — число подъездов, \( Q \) — число квартир на этаже в подъезде.

Общее число квартир \( K = P \cdot E \cdot Q \).

По условию, \( Q = \frac{E}{3} \).

Тогда \( 189 = P \cdot E \cdot \frac{E}{3} \).

\( 189 \cdot 3 = P \cdot E^2 \).

\( 567 = P \cdot E^2 \).

Мы знаем, что \( E \) — число этажей, а \( Q = \frac{E}{3} \) — число квартир на этаже. \( Q > 1 \), значит \( \frac{E}{3} > 1 \), то есть \( E > 3 \).

Также \( P \) — число подъездов, \( E \) — число этажей. Оба числа должны быть натуральными. \( E^2 \) должно быть делителем числа 567.

Разложим 567 на простые множители: \( 567 = 3 \cdot 189 = 3 \cdot 3 \cdot 63 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 21 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 = 3^4 \cdot 7 = 81 \cdot 7 \).

Возможные значения \( E^2 \) (квадраты натуральных чисел, являющиеся делителями 567):

• \( E^2 = 1 \) (\( E = 1 \), но \( E > 3 \) — не подходит)
• \( E^2 = 9 \) (\( E = 3 \), но \( E > 3 \) — не подходит)
• \( E^2 = 81 \) (\( E = 9 \)). В этом случае \( P = \frac{567}{81} = 7 \). Число квартир на этаже \( Q = \frac{9}{3} = 3 \). \( Q=3 > 1 \) — подходит.

Таким образом, число этажей равно 9.

Проверка: \( P=7 \), \( E=9 \), \( Q=3 \). \( K = 7 \cdot 9 \cdot 3 = 63 \cdot 3 = 189 \).

Ответ: 9.