1. В некотором графе 11 рёбер. Пять вершин имеют степень 2, а остальные вершины – степень 3. Других вершин в этом графе нет. Сколько вершин степени 3 содержит граф?

Ответ: 2

Пусть x - количество вершин степени 3. Тогда общее количество степеней равно 5 * 2 + x * 3 = 10 + 3x. С другой стороны, сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному количеству рёбер, то есть 2 * 11 = 22. Составляем уравнение: 10 + 3x = 22. Решаем уравнение: 3x = 12, x = 4.

Однако, у нас только (всего вершин) - (вершин степени 2) = 11 - 5 = 6 вершин, которые могут иметь степень 3. Значит, что-то не так.

Проверим еще раз условие задачи. В условии сказано, что других вершин в графе нет, то есть любая вершина имеет степень либо 2, либо 3. Получается, что всего вершин 5+x.

Тогда 5+x = (сумма степеней) /2 = 22/2 = 11. Отсюда x=6. И сумма степеней равна 5*2 + 6*3 = 10 + 18 = 28. Не сходится условие!

Допустим, что в графе всего 5 вершин степени 2 и x вершин степени 3. Тогда общее количество вершин равно 5+x. А общее количество ребер (половина суммы степеней) равно 11. Значит 5\cdot2 + x\cdot3 = 2\cdot11=22. Получаем 10+3x=22. 3x=12. x=4

Значит, вершин степени 3 в графе 4.

Ответ: 4