* В некотором графе 11 рёбер. Пять вершин имеют степень 2, а остальные вершины — степень 3. Сколько вершин степени 3 содержит граф?

Решение:

Воспользуемся теоремой о сумме степеней вершин графа: сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному числу его рёбер.

Пусть \( n_2 \) — количество вершин степени 2, а \( n_3 \) — количество вершин степени 3.

По условию, \( n_2 = 5 \).

Сумма степеней вершин степени 2 равна \( 5 \cdot 2 = 10 \).

Сумма степеней вершин степени 3 равна \( n_3 \cdot 3 \).

Общее число рёбер в графе равно 11. Следовательно, удвоенное число рёбер равно \( 2 \cdot 11 = 22 \).

По теореме, сумма степеней всех вершин равна удвоенному числу рёбер:

\( (5 × 2) + (n_3 × 3) = 22 \)

\( 10 + 3n_3 = 22 \)

\( 3n_3 = 22 - 10 \)

\( 3n_3 = 12 \)

\( n_3 = \frac{12}{3} \)

\( n_3 = 4 \)

Ответ: Граф содержит 4 вершины степени 3.